# Apeiron AP1-R2c – implizite DAE-Spezifikation

**Stand:** 02.09.2026  
**Klassifikation:** Formulierung geschlossen; numerischer Solve noch nicht ausgeführt; G22 ORANGE

## 1. Anlass und Aussagegrenze

Die 17/33/65-Mehrfachauflösung zeigt, dass die äußere Picard-Abbildung der
renormierten Quellen nicht kontrahiert. Auch skaliertes, Armijo-gesichertes
Anderson auf dem vollen Quellengitter und in Chebyshev-Räumen der Grade 4 und
8 besteht die unveränderte punktweise Quellenschwelle nicht. Der Wronskian
bleibt dabei bei ungefähr `1e-49`; der aktuelle Blocker ist daher nicht die
hochpräzise Modenvererbung.

Die lokalen adiabatischen Ordnungen 2/4 enthalten verschachtelte kosmische
Ableitungen. Werden diese erst nach einer Hintergrundintegration per Spline
gebildet und anschließend zurückgekoppelt, entsteht eine steife äußere
Fixpunktabbildung. Die folgende DAE-Formulierung löst Hintergrund und lokale
Quantenquelle gleichzeitig. Sie ergänzt keine neue Physik und ändert weder
v7.13 noch M-1 oder die Renormierungsbedingungen.

## 2. Gitter und Unbekannte

Auf einem Chebyshev-Lobatto-Gitter `N_i in [0, Delta N]` werden gleichzeitig
gesucht:

\[
 X_i=(\sigma_i,v_{\sigma i},\theta_i,v_{\theta i}),\qquad
 Q_i=(\rho_{q i},p_{q i},\chi^2_{q i}),
\]

sowie der skalare Anschlussparameter `N_seed`. Für `n` Knoten besitzt das
System damit `7n+1` Unbekannte. Die M-1-Standarddichten bleiben die bereits
eingefrorenen analytischen Funktionen von `N_seed+N_i`.

Der positive Expansionsast wird nicht als zusätzliche Differentialvariable
geführt, sondern an jedem Knoten algebraisch erzwungen:

\[
 H_i=+\sqrt{\frac{\rho_{\rm cl}(X_i)+\rho_{\rm std}(N_{\rm seed}+N_i)
 +\rho_{q i}}{3}}.
\]

Nichtpositive Radikanden brechen fail-closed ab. Damit ist der Friedmann-
Zwang Teil des Solvers und nicht erst eine nachträgliche Diagnose.

## 3. Konsistente lokale Ableitungen

Sei `D_N` die einmalig erzeugte Lobatto-Differentiationsmatrix. Dann gilt am
gesamten Kollokationszustand

\[
 D_t=\operatorname{diag}(H)D_N,\qquad
 \dot H=D_tH,
\]

und jede weitere lokale Ableitung in `W_2`, `W_4` und den UV-Tails wird durch
erneute Anwendung desselben Operators auf demselben Newton-Zustand erzeugt.
Es gibt keine nachträgliche Spline-Differentiation und keinen abrupten
Vererbungs-/Kandidatengitter-Übergang in den lokalen Gegenwirkungen.

Die aufgelösten PV-Moden bleiben ein deterministisches hochpräzises Funktional
der vollständigen geerbten PASS-Historie plus Kandidatenzustand. Am Anschluss
wird kein neues Vakuum gesetzt.

## 4. Residualblöcke

Der Newton-Vektor besteht aus folgenden quadratischen Blöcken:

1. vier Hintergrund-Kollokationsgleichungen für `sigma`, `v_sigma`, `theta`
   und `v_theta`; an der ersten Zeile werden sie durch die vier exakten
   HARD-PASS-Anschlusswerte ersetzt;
2. drei algebraische Quellenschließungen
   `Q-Q_ren[X,H,D_t X,D_t H,...; inherited modes]=0` an allen Knoten;
3. eine Anschlussgleichung, welche `N_seed` aus der M-1-Standarddichte und dem
   exakten HARD-PASS-Hubblewert bestimmt.

Damit stehen `7n+1` Gleichungen genau `7n+1` Unbekannten gegenüber.
Raychaudhuri, Portal-Ward und Standardkontinuität werden als unabhängige
Residualgates ausgewertet und nicht zum künstlichen Überbestimmen des Systems
verwendet.

## 5. Newton-Krylov-Sicherung

- dimensionslose Blockskalierung aus dem Anschlusszustand;
- Jacobian-Vektor-Produkte zunächst durch symmetrische, skalierte Differenzen,
  später optional analytisch oder automatisch differenziert;
- GMRES/LGMRES mit Blockvorkonditionierer aus lokalem Hintergrund und
  algebraischem Friedmannblock;
- Armijo-Vertrauensschritt;
- jeder Trial muss endliche Größen, positiven Friedmannradikanden, `H>0`,
  `P_X>0` und `K>0` bewahren;
- bei Abbruch wird der letzte akzeptierte Zustand protokolliert, nie als PASS
  klassifiziert.

## 6. Unveränderte Produktionsgates

| Gate | Schwelle |
|---|---:|
| Friedmann | `max abs R_F <= 1e-6` |
| Portal-Ward | `<= 2e-6` |
| punktweise Quellenschließung | `<= 1e-4` |
| Wronskian | `<= 1e-11` |
| Verfeinerung | monoton auf 17/33/65 Knoten |

Zusätzlich müssen `H`, `P_X` und `K` positiv und alle Größen endlich bleiben.
Die Schwellen werden nicht gelockert. Erst ein vollständiger 17/33/65-PASS
darf den späteren M-1-Hintergrundpfad freigeben. H(z), Wachstum, Lensing,
Fits und empirische Aussagen bleiben bis dahin gesperrt.